18.(3 балла) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками: у=х³, y=0, x=-0,5, x=1

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) и прямыми \( x = a \), \( x = b \), вычисляется как:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = x^3 \), \( g(x) = 0 \), \( a = -0,5 \), \( b = 1 \).

Так как на отрезке \( [-0,5; 1] \) функция \( x^3 \) может быть как положительной, так и отрицательной, нам нужно учесть знак.

Функция \( y = x^3 \) отрицательна при \( x < 0 \) и положительна при \( x > 0 \).

Наш интервал \( [-0,5; 1] \) пересекает ось \( x = 0 \).

Поэтому разобьем интеграл на два:

\[ S = \int_{-0.5}^{0} |x^3 - 0| dx + \int_{0}^{1} |x^3 - 0| dx \]

\[ S = \int_{-0.5}^{0} |x^3| dx + \int_{0}^{1} |x^3| dx \]

Для \( x \) от -0,5 до 0, \( x^3 \) отрицательна, значит \( |x^3| = -x^3 \).

Для \( x \) от 0 до 1, \( x^3 \) положительна, значит \( |x^3| = x^3 \).

\[ S = \int_{-0.5}^{0} (-x^3) dx + \int_{0}^{1} x^3 dx \]

Вычислим первый интеграл:

\[ \int_{-0.5}^{0} (-x^3) dx = [-\frac{x^4}{4}]_{-0.5}^{0} = (-\frac{0^4}{4}) - (-\frac{(-0.5)^4}{4}) = 0 - (-\frac{0.0625}{4}) = \frac{0.0625}{4} = 0.015625 \]

Вычислим второй интеграл:

\[ \int_{0}^{1} x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = 0.25 \]

Сложим оба значения:

\[ S = 0.015625 + 0.25 = 0.265625 \]

Переведём в дроби:

\[ 0.015625 = \frac{1}{64} \]

\[ 0.25 = \frac{1}{4} = \frac{16}{64} \]

\[ S = \frac{1}{64} + \frac{16}{64} = \frac{17}{64} \]

Ответ: \( \frac{17}{64} \) или 0,265625.