20. (3 балла) На столе стоит цилиндрическая банка с водой. Радиус основания банки R = 8 см. Если в эту банку опускают шарик радиусом r = 3 см, то он ложится на дно банки, а поверхность воды при этом поднимается настолько, что становится касательной к шарику. Найдите объём воды в банке.

Решение:

1. Определим начальный уровень воды.

Шарик радиусом \( r = 3 \text{ см} \) полностью погружается в воду. После погружения шарик касается дна, а уровень воды поднимается так, что становится касательным к шарику. Это означает, что верхняя точка шарика находится на уровне воды. Высота, которую занимает шарик в банке, равна его диаметру: \( d_{шарика} = 2r = 2 3 = 6 \text{ см} \).

Так как уровень воды стал касательным к шарику, то начальный уровень воды \( h_1 \) был равен высоте от дна до верхней точки шарика, но без учета самого шарика. Это означает, что вода поднялась до уровня, равного диаметру шарика. Таким образом, конечная высота столба воды \( h_2 \) вместе с погруженным шариком равна диаметру шарика, т.е. \( h_2 = 6 \text{ см} \).

2. Определим объём воды без шарика.

Объём цилиндрической банки вычисляется по формуле \( V = R^2 h \).

Объём всего содержимого (вода + шарик) до уровня касания: \( V_{содержимого} = R^2 h_2 \).

\[ V_{содержимого} = (8 \text{ см})^2 6 \text{ см} = 64 \text{ см}^2 6 \text{ см} = 384 \text{ см}^3 \].

Объём шарика (сферы) вычисляется по формуле \( V_{шарика} = \frac{4}{3} r^3 \).

\[ V_{шарика} = \frac{4}{3} (3 \text{ см})^3 = \frac{4}{3} 27 \text{ см}^3 = 4 9 \text{ см}^3 = 36 \text{ см}^3 \].

Объём воды в банке \( V_{воды} \) равен объёму содержимого минус объём шарика.

\[ V_{воды} = V_{содержимого} - V_{шарика} \]

\[ V_{воды} = 384 \text{ см}^3 - 36 \text{ см}^3 = (384 - 36) \text{ см}^3 = 348 \text{ см}^3 \].

Ответ: \( 348 \text{ см}^3 \).