18. а) y=x+1/x функциясы x≥1 аралыгында өсүүчү; б) y=1/(x²+1) функциясы x≥0 аралыгында кемүүчү, ал эми x≤0 аралыгында өсүүчү; в) y=x³−3x функциясы x≤−1 жана x≥1 аралыктарында өсүүчү, ал эми −1≤x≤1 аралыгында кемүүчү; г) y=x−2√x функциясы x≥1 аралыгында өсүүчү, ал эми 0≤x≤1 аралыгында кемүүчү экендигин далилдегиле.

Перевод задания: Докажите указанные утверждения о возрастании и убывании функций.

Используем производную: положительная производная означает возрастание, отрицательная — убывание.

а) \(y=x+\frac1x\), \(x\ge1\). Тогда \(y'=1-\frac1{x^2}\ge0\), следовательно, функция возрастает на \([1,+\infty)\).

б) \(y=\frac1{x^2+1}\). Производная \(y'=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\). При \(x\le0\) она неотрицательна, поэтому функция возрастает; при \(x\ge0\) неположительна, поэтому функция убывает.

в) \(y=x^3-3x\). \(y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Производная положительна при \(x<-1\) и \(x>1\), отрицательна при \(-1<x<1\). Значит, функция возрастает на \((-\infty,-1]\) и \([1,+\infty)\), убывает на \([-1,1]\).

г) \(y=x-2\sqrt{x}\), область определения \(x\ge0\). При \(x>0\), \(y'=1-\frac1{\sqrt{x}}\). На \(0<x<1\) производная отрицательна, а при \(x>1\) положительна; в точке \(x=1\) равна нулю. Поэтому функция убывает на \([0,1]\) и возрастает на \([1,+\infty)\).

Жыйынтык: Берилген төрт өсүү жана кемүү тууралуу ырастоо туура.