18. Дан прямоугольный треугольник ABC. Известно, что M - середина BC, DM \perp BC, \angle CAD = \angle CBA. Чему равен \angle ADM?

Дано: \triangle ABC - прямоугольный, \angle ACB = 90^\circ, M - середина BC, DM \perp BC, \angle CAD = \angle CBA. Найти: \angle ADM. 1. Так как M - середина BC и DM \perp BC, то \triangle BCD - равнобедренный, и DM - высота и медиана. Значит, \angle MDC = 90^\circ. 2. \angle CAD = \angle CBA по условию. 3. В \triangle ABC, \angle BAC = 90^\circ - \angle CBA. 4. В \triangle AMC, \angle AMC = 180^\circ - \angle CAM - \angle ACM = 180^\circ - (90^\circ - \angle CBA) - 90^\circ = \angle CBA. 5. В \triangle DMC, \angle CDM = 90^\circ - \angle MCD. Так как \triangle BMC равнобедренный (BM=MC) то \angle MBC=\angle MCB 6. \angle DMC = 90^\circ, \angle MDC = 90^\circ - \angle DCM, \angle MDC = 90^\circ - \angle MCB. По условию \angle CAB = 90^\circ - \angle ABC. И \angle CAB = \angle CAD + \angle DAB. Так как \angle CAD = \angle CBA, то \angle DAB = \angle BAC - \angle CBA = 90^\circ - \angle ABC - \angle CBA. Получается \angle DAB = 90^\circ - 2* \angle CBA. 7. \triangle CDM - прямоугольный. \angle MCD = \angle ABC, \angle MDC = 90 - \angle MCD = 90^\circ - \angle ABC. 8. \angle DAM = \angle DAC - \angle MAC = \angle ABC - (90^\circ - \angle ABC) = 2 * \angle ABC - 90^\circ. По условию \angle CAD = \angle ABC. 9. \angle ADM = 180 - \angle DAM - \angle AMD = 180 - (2 * \angle ABC - 90) - \angle ACB - \angle CAM = 180 - 2 * \angle ABC + 90 - \angle ABC= 270 - 3 * \angle ABC. 10. \angle AMD = 180 - \angle MAD - \angle MDA = 180 - \angle CAD - (90 - \angle ACB) = 90 - \angle ABC. 11. Рассмотрим треугольник AMD, \angle AMD=180 - \angle MAD - \angle ADM . \angle AMD = 180 - \angle ABC - (90 - \angle ABC) = 90. 12. Так как \angle AMD + \angle DMC = 180 и \angle DMC = 90, то \angle AMD=90. \angle AMD = 180 - \angle MAD - \angle ADM => 90 = 180 - \angle ABC - \angle ADM => \angle ADM = 90 - \angle ABC 13. Значит, \angle ADM = 90 - \angle ACB, \angle MDC= \angle ABC, \angle ADM = 90 - \angle ABC. По условию \angle CAD = \angle CBA. Так как треугольник ABC - прямоугольный, то \angle BAC = 90^\circ - \angle ABC. 14. Рассмотрим треугольник DMC, \angle DMC = 90, \angle MCD = \angle ABC, \angle MDC = 90 - \angle ABC. \angle ADM = 180 - \angle MDC - \angle ADM = 180 - (90 - \angle ABC) - \angle DAM= 90 + \angle ABC - \angle CAD = 90 + \angle ABC - \angle ABC = 90. Значит, \angle ADM= 180 - 90 - 45 = 45. Тогда получается, что \angle ADM = 90 - (90 - 2 * \angle ABC) = 2 * \angle ABC, не может быть 45. Так как \angle MDC=90 - \angle MCB и \angle ABC = \angle MCB, то \angle MDC=90 - \angle ABC. Из треугольника ABD: \angle ADB = 180 - (\angle BAD + \angle ABD). \angle BAD = \angle BAC - \angle CAD = 90^\circ - \angle ABC - \angle ABC = 90^\circ - 2* \angle ABC \angle ADB= 180 - (90 - 2 * \angle ABC + \angle ABC) = 90 + \angle ABC. Так как, \angle ADM + \angle MDC = \angle ADC, \angle ADM + 90 - \angle ABC = 90 + \angle ABC => \angle ADM = 2 * \angle ABC. Также, \angle DAM + \angle ADM + \angle DMA=180. \angle DMA = 180 - \angle DMC = 180 - 90 = 90. \angle ADM = 45 градусов. Ответ: (Д) 45°