18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно; б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно; в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно; г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно.

Question

$Фото задания: 18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Для любого $x$ имеем $x^2\ge0$, поэтому $x^2+1>0$. Числитель $3>0$, значит $\frac{3}{x^2+1}>0$.
б) Для любого $y$ имеем $y^2\ge0$, поэтому $y^2+4>0$. Числитель $-5<0$, значит $\frac{-5}{y^2+4}<0$.
в) Квадрат неотрицателен: $(a-1)^2\ge0$. Кроме того, $a^2+10>0$. Следовательно, $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge0$.
г) Числитель $(b-3)^2\ge0$, а знаменатель $-b^2-1=-(b^2+1)<0$. Поэтому дробь неположительна: $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}\le0$.

Ответ: а) положительна; б) отрицательна; в) неотрицательна; г) неположительна.