18. Имеется 2011 одинаковых по виду монет, среди которых либо две фальшивые, либо ни одной. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь узнать, есть ли фальшивые монеты или нет, если фальшивые монеты имеют одну и ту же массу, отличающуюся от массы настоящей монеты?

Разделим монеты на три группы: по 670 монет и одну группу из 1 монеты. Первым взвешиванием сравним две группы по 670 монет.

Если чаши уравновесились, то среди этих 1340 монет фальшивых нет. Тогда вторым взвешиванием сравним одну из проверенных монет с оставшейся монетой. При равновесии фальшивых монет нет; при неравновесии среди двух взвешенных монет находятся две фальшивые. Но такой случай невозможен, так как в оставшейся группе только одна монета. Следовательно, при равновесии первого взвешивания фальшивых монет нет.

Если первое взвешивание не уравновесилось, то фальшивые монеты находятся в двух группах по 670 монет. Вторым взвешиванием сравним по 335 монет из каждой из этих групп. Если чаши уравновесятся, фальшивые находятся среди оставшихся 335 монет каждой группы; если нет — фальшивые находятся среди взвешенных групп. В обоих случаях устанавливается наличие фальшивых монет.

Ответ: наличие фальшивых монет определяется по результатам двух взвешиваний.