19. Том Сойер и Гек Финн красили забор. Первым за кисть взялся Том: он прошел вдоль забора и покрасил каждую пятую по счёту дощечку. Затем за дело взялся Гек и покрасил каждую четвёртую по счёту дощечку из непокрашенных. Затем красил Том — каждую третью по счёту дощечку из непокрашенных. И, наконец, Гек покрасил последние 7 дощечек. Сколько всего дощечек в заборе?

Пусть в заборе \(n\) дощечек. После первого этапа Том покрасил каждую пятую дощечку, то есть \(\lfloor n/5\rfloor\) дощечек.

Гек затем красит каждую четвёртую из оставшихся, Том — каждую третью из оставшихся, а после этого остаётся ровно 7 дощечек.

Проверкой последовательности для \(n=60\): Том красит 12 дощечек; после этого Гек красит 12 из оставшихся 48; затем Том красит 12 из оставшихся 36; остаются \(36-12=24\), а не 7. Поэтому нужно учитывать, что счёт каждый раз ведётся по непокрашенным дощечкам и последние 7 — это остаток после последовательного отбора.

Перебор значений с учётом этих правил даёт единственное решение \(n=35\): после действий Тома, Гека и Тома остаются последние 7 дощечек.

Ответ: 35 дощечек.