18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки А до прямой BC. Ответ выразите в сантиметрах.

Задание 18. Расстояние от точки до прямой

Анализ изображения:

По изображению определим координаты точек, считая, что нижний левый угол сетки является началом координат (0,0).

• Точка A: (1, 5)
• Точка B: (4, 2)
• Точка C: (6, 4)

1. Уравнение прямой BC:

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(4, 2) и C(6, 4).

Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{6 - 4} = \frac{2}{2} = 1 \).

Уравнение прямой в виде \( y - y_1 = k(x - x_1) \):

\[ y - 2 = 1(x - 4) \]

\[ y - 2 = x - 4 \]

\[ y = x - 2 \]

В общем виде: \( x - y - 2 = 0 \).

2. Расстояние от точки A до прямой BC:

Используем формулу расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \):

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{√{A^2 + B^2}} \]

В нашем случае:

• Точка A \( (x_0, y_0) = (1, 5) \).
• Прямая \( x - y - 2 = 0 \), где \( A=1 \), \( B=-1 \), \( C=-2 \).

Подставим значения:

\[ d = \frac{|1 × 1 + (-1) × 5 + (-2)|}{√{1^2 + (-1)^2}} \]

\[ d = \frac{|1 - 5 - 2|}{√{1 + 1}} \]

\[ d = \frac{|-6|}{√{2}} = \frac{6}{√{2}} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[ d = \frac{6 × √{2}}{√{2} × √{2}} = \frac{6√{2}}{2} = 3√{2} \]

Приближенное значение \( √{2} ≈ 1.414 \).

\[ d ≈ 3 × 1.414 = 4.242 \]

Так как размер клетки 1 см, расстояние будет в сантиметрах.

Ответ: 3*sqrt(2)