18. Найти промежутки монотонности функции:

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и определить знаки производной на интервалах.

1. y = 8x² - x⁴
   \( y' = 16x - 4x^3 \)
   \( 16x - 4x^3 = 0 \)
   \( 4x(4 - x^2) = 0 \)
   \( x=0, x=2, x=-2 \)
   На интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (0, 2) \) функция возрастает.
   На интервалах \( (-2, 0) \) и \( (2, \infty) \) функция убывает.
2. y = x³ + 6x² - 15x + 8
   \( y' = 3x^2 + 12x - 15 \)
   \( 3x^2 + 12x - 15 = 0 \)
   \( x^2 + 4x - 5 = 0 \)
   \( (x+5)(x-1) = 0 \)
   \( x=-5, x=1 \)
   На интервалах \( (-\infty, -5) \) и \( (1, \infty) \) функция возрастает.
   На интервале \( (-5, 1) \) функция убывает.
3. y = x⁴ - 2x² + 1
   \( y' = 4x^3 - 4x \)
   \( 4x^3 - 4x = 0 \)
   \( 4x(x^2 - 1) = 0 \)
   \( x=0, x=1, x=-1 \)
   На интервалах \( (-1, 0) \) и \( (1, \infty) \) функция возрастает.
   На интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (0, 1) \) функция убывает.
4. f(x) = x²(x-3) = x³ - 3x²
   \( f'(x) = 3x^2 - 6x \)
   \( 3x^2 - 6x = 0 \)
   \( 3x(x-2) = 0 \)
   \( x=0, x=2 \)
   На интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, \infty) \) функция возрастает.
   На интервале \( (0, 2) \) функция убывает.

Ответ: 1) Возрастает: \( (-\infty, -2] \cup [0, 2] \); Убывает: \( [-2, 0] \cup [2, \infty) \). 2) Возрастает: \( (-\infty, -5] \cup [1, \infty) \); Убывает: \( [-5, 1] \). 3) Возрастает: \( [-1, 0] \cup [1, \infty) \); Убывает: \( (-\infty, -1] \cup [0, 1] \). 4) Возрастает: \( (-\infty, 0] \cup [2, \infty) \); Убывает: \( [0, 2] \).