20. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нужно:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки внутри отрезка.
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения.

1. f(x) = x⁴ - 8x² - 9, [-3;5]
   \( f'(x) = 4x^3 - 16x \)
   \( 4x^3 - 16x = 0 \)
   \( 4x(x^2 - 4) = 0 \)
   \( x=0, x=2, x=-2 \)
   Критические точки внутри отрезка: \( x=0, x=2, x=-2 \).
   Значения функции: \( f(-3) = 81 - 8(9) - 9 = 81 - 72 - 9 = 0 \).
   \( f(-2) = 16 - 8(4) - 9 = 16 - 32 - 9 = -25 \).
   \( f(0) = -9 \).
   \( f(2) = 16 - 8(4) - 9 = 16 - 32 - 9 = -25 \).
   \( f(5) = 625 - 8(25) - 9 = 625 - 200 - 9 = 416 \).
   Наибольшее значение: 416, наименьшее: -25.
2. f(x) = 3x⁵ - 5x³, [-1;3]
   \( f'(x) = 15x^4 - 15x^2 \)
   \( 15x^4 - 15x^2 = 0 \)
   \( 15x^2(x^2 - 1) = 0 \)
   \( x=0, x=1, x=-1 \)
   Критические точки внутри отрезка: \( x=0, x=1 \) (так как \( x=-1 \) — граница отрезка).
   Значения функции: \( f(-1) = 3(-1) - 5(-1) = -3 + 5 = 2 \).
   \( f(0) = 0 \).
   \( f(1) = 3(1) - 5(1) = 3 - 5 = -2 \).
   \( f(3) = 3(3^5) - 5(3^3) = 3(243) - 5(27) = 729 - 135 = 594 \).
   Наибольшее значение: 594, наименьшее: -2.
3. y = x³ + 3x² - 9x, [-4;0]
   \( y' = 3x^2 + 6x - 9 \)
   \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \)
   \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
   \( (x+3)(x-1) = 0 \)
   \( x=-3, x=1 \)
   Критическая точка внутри отрезка: \( x=-3 \) (так как \( x=1 \) вне отрезка).
   Значения функции: \( y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) = -64 + 3(16) + 36 = -64 + 48 + 36 = 20 \).
   \( y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = -27 + 3(9) + 27 = -27 + 27 + 27 = 27 \).
   \( y(0) = 0 \).
   Наибольшее значение: 27, наименьшее: 0.
4. f(x) = 1,5x² + \( \frac{81}{x} \), [1;4]
   \( f'(x) = 3x - \frac{81}{x^2} \)
   \( 3x - \frac{81}{x^2} = 0 \)
   \( 3x = \frac{81}{x^2} \)
   \( 3x^3 = 81 \)
   \( x^3 = 27 \)
   \( x=3 \)
   Критическая точка внутри отрезка: \( x=3 \).
   Значения функции: \( f(1) = 1.5(1)^2 + \frac{81}{1} = 1.5 + 81 = 82.5 \).
   \( f(3) = 1.5(3)^2 + \frac{81}{3} = 1.5(9) + 27 = 13.5 + 27 = 40.5 \).
   \( f(4) = 1.5(4)^2 + \frac{81}{4} = 1.5(16) + 20.25 = 24 + 20.25 = 44.25 \).
   Наибольшее значение: 82.5, наименьшее: 40.5.

Ответ: 1) Наибольшее: 416, наименьшее: -25. 2) Наибольшее: 594, наименьшее: -2. 3) Наибольшее: 27, наименьшее: 0. 4) Наибольшее: 82.5, наименьшее: 40.5.