18. Школьник Алекс готовится к новому учебному году. Родители выделяют ему на канцелярию 120 рублей в месяц, и он тратит их на ручки и тетради: ручка стоит 3 рубля, тетрадь — 6 рублей. Если Алекс купит x ручек и y тетрадей, его удовлетворённость (полезность) будет равна U = xy. Товары можно покупать в любых, в том числе дробных, количествах. Алекс выбирает набор, который даёт ему наибольшую полезность и при этом укладывается в бюджет. Какую полезность он получит? Запишите целое число.

Бюджетное ограничение: \(3x+6y=120\). Разделим на 3: \(x+2y=40\), поэтому \(y=(40-x)/2\).

Подставим это выражение в полезность: \(U=xy=x(40-x)/2=-(x-20)^2/2+200\). Эта величина максимальна при \(x=20\); тогда \(y=10\).

Ответ: 200