18. Тип 14 № 11038. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведён серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4 : 7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пусть серединный перпендикуляр к AC пересекает катет AB в точке D. Тогда DA = DC, поэтому треугольник ADC равнобедренный и ∠DAC = ∠ACD.

Обозначим ∠A = α, а угол при C — β. Поскольку треугольник прямоугольный, α + β = 90°. По условию угол при C разделён в отношении 4 : 7, причём меньшая часть прилегает к катету. Значит, ∠BCD = 4β/11, а ∠ACD = 7β/11.

Из равнобедренности ∠ACD = ∠DAC = α, поэтому α = 7β/11. Подставим β = 90° − α: 11α = 7(90° − α), откуда 18α = 630° и α = 35°. Тогда β = 55°, а части угла при C равны 20° и 35°.

Ответ: угол, разделённый отрезком, равен 55°.