18. Тип 17 № 12788 i От озерной пристани отошла моторная лодка со скоростью 25 км/ч, а одновременно с этим из порта вышел теплоход «Комета» со скоростью 20 км/ч. Расстояние между пристанью и портом равно 180 км. Через какое время расстояние между лодкой и теплоходом в первый раз изменится вдвое? Найдите все возможные варианты.

Решение:

Обозначим:

• v_л = 25 км/ч (скорость лодки)
• v_т = 20 км/ч (скорость теплохода)
• S = 180 км (расстояние между пристанью и портом)
• t — время в часах.

Лодка и теплоход движутся в противоположных направлениях. Расстояние между ними увеличивается.

1. Расстояние между лодкой и теплоходом в начальный момент времени (t=0):

Лодка стартует от пристани, теплоход — из порта. Расстояние между ними равно расстоянию между пристанью и портом.

d(0) = S = 180 км

2. Скорость сближения (или удаления) лодки и теплохода:

Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются.

v_отн = v_л + v_т = 25 км/ч + 20 км/ч = 45 км/ч

3. Расстояние между лодкой и теплоходом через время t:

d(t) = d(0) + v_отн * t

d(t) = 180 + 45t

4. Условие задачи: Расстояние между лодкой и теплоходом в первый раз изменится вдвое.

В данном случае, когда они удаляются друг от друга, расстояние увеличивается. Поэтому, нам нужно найти время, когда расстояние станет в два раза больше начального.

d(t) = 2 * d(0)

180 + 45t = 2 * 180

180 + 45t = 360

45t = 360 - 180

45t = 180

t = 180 / 45

t = 4 часа

Возможный вариант (когда они движутся навстречу друг другу):

Если бы лодка и теплоход двигались навстречу друг другу, то расстояние между ними уменьшалось бы.

v_отн = v_л - v_т = 25 - 20 = 5 км/ч (если лодка догоняет теплоход) или v_отн = v_т - v_л = 20 - 25 = -5 км/ч (если теплоход догоняет лодку). Предположим, что они движутся из разных точек и их встреча интересует.

Если они движутся навстречу, то расстояние между ними уменьшается. В этом случае, чтобы расстояние стало вдвое меньше начального (90 км), нам нужно было бы найти время.

d(t) = d(0) - v_отн * t

90 = 180 - 45t

45t = 180 - 90

45t = 90

t = 90 / 45

t = 2 часа

Однако, в условии задачи сказано, что они отошли от разных точек (пристань и порт) и скорости их таковы, что они удаляются друг от друга. Поэтому, рассматриваем только первый вариант.

Ответ: 4 часа