18. Тип 17 № 12788 От озерной пристани отошла моторная лодка со скоростью 25 км/ч, а одновременно с этим из порта вышел теплоход «Комета» со скоростью 20 км/ч. Расстояние между пристанью и портом равно 180 км. Через какое время расстояние между лодкой и теплоходом в первый раз изменится вдвое? Найдите все возможные варианты.

Решение:

Обозначим время в часах как t.

Расстояние, пройденное лодкой за время t: $$S_л = 25t$$ км.

Расстояние, пройденное теплоходом за время t: $$S_т = 20t$$ км.

Расстояние между пристанью и портом равно 180 км.

Рассмотрим два случая движения:

1. Лодка и теплоход движутся в одном направлении (от пристани и порта в одну сторону).
   В этом случае, когда они движутся в одном направлении, нас интересует разница расстояний, пройденных ими от начальных точек. Расстояние между ними будет изменяться.
   Расстояние между лодкой и теплоходом в момент времени t будет равно $$|(180 + S_л) - S_т|$$ или $$|S_л - (180 + S_т)|$$.
   Или, если рассматривать движение от одной точки, то расстояние между ними будет $$|S_{относит}| = |S_л - S_т|$$.
   Поскольку лодка быстрее теплохода, расстояние между ними будет увеличиваться. Расстояние от пристани до порта — 180 км.
   Расстояние лодки от пристани: $$25t$$
   Расстояние теплохода от порта: $$20t$$
   Расстояние между ними: $$180 - (25t - 20t) = 180 - 5t$$ (если лодка еще не догнала теплоход) или $$5t - 180$$ (если лодка обогнала теплоход).
   Нас интересует, когда расстояние между ними будет вдвое меньше начального расстояния между пристанью и портом, то есть $$180 / 2 = 90$$ км.
   
   Случай 1.1: Лодка и теплоход движутся в одном направлении, и лодка ещё не обогнала теплоход.
   Расстояние между ними: $$180 - 5t$$.
   Условие: $$180 - 5t = 90$$
   $$5t = 180 - 90$$
   $$5t = 90$$
   $$t = 18$$ часов.
   
   Случай 1.2: Лодка и теплоход движутся в одном направлении, и лодка обогнала теплоход.
   Расстояние между ними: $$5t - 180$$.
   Условие: $$5t - 180 = 90$$
   $$5t = 180 + 90$$
   $$5t = 270$$
   $$t = 54$$ часа.
   
   
2. Лодка и теплоход движутся в противоположных направлениях (друг от друга).
   Лодка от пристани, теплоход от порта. Они удаляются друг от друга.
   Расстояние от лодки до пристани: $$25t$$.
   Расстояние от теплохода до порта: $$20t$$.
   Начальное расстояние между пристанью и портом: 180 км.
   Общее расстояние между лодкой и теплоходом: $$180 + 25t + 20t = 180 + 45t$$.
   Это расстояние всегда больше 180 км, поэтому оно не может стать равным 90 км. Этот случай невозможен.

Варианты:

• Время, когда расстояние между ними стало 90 км, и они двигались в одном направлении, лодка ещё не обогнала теплоход: 18 часов.
• Время, когда расстояние между ними стало 90 км, и они двигались в одном направлении, лодка обогнала теплоход: 54 часа.

Ответ: 18 часов и 54 часа.