18. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и \(\angle ACD=77^\circ\). Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AB=a\). Тогда \(AC=2a\). Так как \(CD\parallel AB\), угол между диагональю AC и стороной AB равен \(77^\circ\).

Рассмотрим диагональ BD. Векторно её можно представить как \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\). Тогда угол \(\varphi\) между диагоналями удовлетворяет соотношению:

\[\cos\varphi=\frac{AC^2-2\cdot AC\cdot AB\cos77^\circ}{AC\sqrt{AC^2+4AB^2-4AC\cdot AB\cos77^\circ}}.\]

Подставляя \(AC=2AB\), получаем:

\[\cos\varphi=\sin38{,}5^\circ=\cos51{,}5^\circ.\]

Следовательно, меньший угол между диагоналями равен \(51{,}5^\circ\).

Ответ: 51,5°.