18 вариант, 8. В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP равен 18°. Найдите градусную меру угла APC.

Решение:

1. Определим тип треугольника ABC:
   Так как угол C равен 90° и стороны AC = BC, то треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником.
2. Найдем углы при основании AB:
   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°.
   \[ \angle CAB = \angle CBA = \frac{180° - 90°}{2} = \frac{90°}{2} = 45° \]
3. Рассмотрим треугольник ACP:
   Мы знаем, что \( \angle CAP = \angle CAB = 45° \) и \( \angle ACP = 18° \).
4. Найдем угол APC:
   Сумма углов в треугольнике ACP равна 180°.
   \[ \angle APC + \angle CAP + \angle ACP = 180° \]
   \[ \angle APC + 45° + 18° = 180° \]
   \[ \angle APC + 63° = 180° \]
   \[ \angle APC = 180° - 63° \]
   \[ \angle APC = 117° \]

Ответ: 117°