18 вариант, 8. В треугольнике АВС угол С равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 18°. Найдите градусную меру угла АРС.

Решение:

1. Анализ треугольника АВС:
   • Треугольник АВС — прямоугольный ($${\angle C = 90^{\circ}}$$).
   • Так как $${\text{AC = BC}}$$, то треугольник АВС — равнобедренный.
   • Углы при основании $${\angle A = \angle B = (180^{\circ} - 90^{\circ}) / 2 = 45^{\circ}}$$.
2. Анализ угла АСР:
   • $${\angle ACP = 18^{\circ}}$$ (дано).
3. Нахождение угла BCP:
   • $${\angle BCP = \angle ACB - \angle ACP = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}}$$.
4. Рассмотрим треугольник АСР:
   • $${\angle CAP = 45^{\circ}}$$.
   • $${\angle ACP = 18^{\circ}}$$.
   • Сумма углов в треугольнике АСР: $${\angle APC + \angle CAP + \angle ACP = 180^{\circ}}$$.
   • $${\angle APC + 45^{\circ} + 18^{\circ} = 180^{\circ}}$$.
   • $${\angle APC + 63^{\circ} = 180^{\circ}}$$.
   • $${\angle APC = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ}}$$.

Ответ: Градусная мера угла АРС равна 117°.