1863. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 30° и ∠BDC = 110°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

В данном случае, угол ∠BDC = 110°, что является тупым углом. Это означает, что точка C находится с другой стороны от прямой BD относительно точки A. На чертеже видно, что A и D находятся на одном основании, а B и C — на другом.

Так как AB = CD, трапеция является равнобедренной.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. ∠DAB = ∠CDA и ∠ABC = ∠BCD.

Угол ∠ADC равен ∠BDA + ∠BDC, если B лежит между A и C, что не так. На чертеже видно, что A и D — вершины одного основания, а B и C — другого.

Угол ∠BDC = 110°. Угол ∠BDA = 30°. Предположим, что BC || AD.

В равнобедренной трапеции диагонали равны, AC = BD.

Из чертежа видно, что ∠BDC является углом между диагональю BD и основанием CD (неверно, CD — боковая сторона). ∠BDC — угол между диагональю BD и боковой стороной CD.

Рассмотрим углы, образованные диагональю BD:

• ∠BDA = 30°.
• ∠BDC = 110°.

Эти два угла прилежат к одной вершине D. Если рассматривать углы вокруг точки D, то ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC, если B лежит между A и C. Это не так.

Угол ∠BDC = 110° — это угол между диагональю BD и боковой стороной CD. Если AD || BC, то ∠CBD = ∠BDA = 30° (накрест лежащие).

Теперь рассмотрим треугольник BCD:

∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = 180°

30° + 110° + ∠BCD = 180°

140° + ∠BCD = 180°

∠BCD = 40°.

Так как трапеция равнобедренная, ∠ABC = ∠BCD = 40°.

Теперь найдем ∠ABD. Угол ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD.

40° = ∠ABD + 30°

∠ABD = 40° - 30° = 10°.

Ответ: 10