19.(3 балла) Найдите наименьшее значение функции y=6cosx+11x+7 на отрезке [0; 3π/2].

Решение:

1. Найдем производную функции:
   \[ y' = (6\cos x + 11x + 7)' = -6\sin x + 11 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ -6\sin x + 11 = 0 \]
   \[ 6\sin x = 11 \]
   \[ \sin x = \frac{11}{6} \]
3. Так как \( \sin x \) не может быть больше 1, данное уравнение не имеет решений. Это значит, что производная функции всегда положительна или всегда отрицательна на заданном отрезке.
4. Проверим знак производной на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \). Например, при \( x = \frac{\pi}{2} \) (середина отрезка), \( \sin x = 1 \):
   \[ y' = -6(1) + 11 = 5 \]
5. Так как \( y' = 5 > 0 \), функция возрастает на всем отрезке.
6. Следовательно, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, то есть при \( x = 0 \):
   \[ y_{наим} = 6\cos(0) + 11(0) + 7 = 6(1) + 0 + 7 = 13 \]

Ответ: 13.