19.(3 балла)В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и острым углом 45°. Диагональ большей боковой грани составляет с плоскостью основания угол. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Определим параметры треугольника в основании призмы.

• Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 2 \) и острым углом \( \alpha = 45^{\circ} \).
• Так как \( \alpha = 45^{\circ} \), то второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, треугольник равнобедренный.
• Катеты \( a \) и \( b \) можно найти как:
• \( a = c \cdot \sin \alpha = 2 \cdot \sin 45^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)
• \( b = c \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \cos 45^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)
• Площадь основания призмы \( S_{осн} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \).

2. Определим высоту призмы.

• Диагональ большей боковой грани составляет с плоскостью основания угол \( 45^{\circ} \).
• Большая боковая грань имеет сторону, равную гипотенузе основания.
• Пусть \( H \) — высота призмы. Диагональ боковой грани \( d = \sqrt{c^2 + H^2} = \sqrt{2^2 + H^2} = \sqrt{4 + H^2} \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани, высотой призмы и катетом основания, равным гипотенузе \( c \). В этом треугольнике угол между диагональю и плоскостью основания равен \( 45^{\circ} \).
• Тогда \( \tan 45^{\circ} = \frac{H}{c} \).
• \( 1 = \frac{H}{2} \)
• \( H = 2 \).

3. Вычислим объем призмы.

• Объем призмы \( V = S_{осн} \cdot H \)
• \( V = 1 \cdot 2 = 2 \)

Ответ: Объем призмы равен 2.