20.(3 балла). Решите систему уравнений: 7^(x²) - 7^y = 0, lg (x+4)=lgy.

Решение:

Система уравнений:

\( \begin{cases} 7^{x^2} - 7^y = 0 \\ \lg(x+4) = \lg y \end{cases} \)

1. Из первого уравнения:

\( 7^{x^2} = 7^y \)

Поскольку основания степеней равны, равны и показатели:

\( x^2 = y \)

2. Из второго уравнения:

\( \lg(x+4) = \lg y \)

Поскольку основания логарифмов равны, равны и их аргументы:

\( x+4 = y \)

3. Условия существования логарифма:

\( x+4 > 0 \) \( \implies x > -4 \)

\( y > 0 \)

4. Подставим \( y = x^2 \) во второе уравнение \( x+4 = y \):

\( x+4 = x^2 \)

\( x^2 - x - 4 = 0 \)

5. Решим квадратное уравнение \( x^2 - x - 4 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 \)

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \)

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \)

6. Проверим условия существования логарифма:

• \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \). \( \sqrt{17} \) примерно 4.12. \( x_1 \approx \frac{1 + 4.12}{2} = \frac{5.12}{2} = 2.56 \). \( x_1 > -4 \) и \( x_1^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{17} + 17}{4} = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{4} = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} > 0 \). Этот корень подходит.
• \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \). \( x_2 \approx \frac{1 - 4.12}{2} = \frac{-3.12}{2} = -1.56 \). \( x_2 > -4 \). Но \( y = x_2^2 = \left(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\sqrt{17} + 17}{4} = \frac{18 - 2\sqrt{17}}{4} = \frac{9 - \sqrt{17}}{2} \). \( \sqrt{17} \) примерно 4.12. \( y \approx \frac{9 - 4.12}{2} = \frac{4.88}{2} = 2.44 \). \( y > 0 \). Этот корень также подходит.

7. Найдем соответствующие значения \( y \):

• Для \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \), \( y_1 = x_1^2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \).
• Для \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \), \( y_2 = x_2^2 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2} \).

Ответ: \( \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; \frac{9 + \sqrt{17}}{2}\right), \left(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{9 - \sqrt{17}}{2}\right) \).