19. Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Пошаговое доказательство:

1. Пусть дана прямая a и точка A, находящаяся на расстоянии h от нее. Все точки, находящиеся на расстоянии h от прямой a и лежащие по одну сторону от нее, образуют прямую b, параллельную прямой a.
2. Возьмем произвольную точку B на прямой b. Проведем перпендикуляр из точки B к прямой a. По условию, длина этого перпендикуляра равна h.
3. Если бы прямая b не была параллельна прямой a, то существовали бы точки на b, расстояние от которых до a было бы больше или меньше h, что противоречит условию.
4. Следовательно, все точки плоскости, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой и лежащие по одну сторону от нее, образуют прямую, параллельную данной прямой.