304 В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что угол BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC. Тогда углы B и C равны: \(\angle B = \angle C\). Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке O. Нужно доказать, что \(\angle BOC\) равен внешнему углу при вершине B. Обозначим \(\angle B = \angle C = 2\alpha\). Тогда, так как BO и CO - биссектрисы, \(\angle OBC = \angle OCB = \alpha\). В треугольнике BOC сумма углов равна 180 градусам: \(\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle BOC + \alpha + \alpha = 180^\circ\), откуда \(\angle BOC = 180^\circ - 2\alpha\). Внешний угол при вершине B равен \(180^\circ - \angle B = 180^\circ - 2\alpha\). Таким образом, \(\angle BOC = 180^\circ - 2\alpha\), и внешний угол при вершине B также равен \(180^\circ - 2\alpha\). Следовательно, \(\angle BOC\) равен внешнему углу треугольника ABC при вершине B. **Развёрнутый ответ для школьника:** Задача просит доказать, что в равнобедренном треугольнике угол, образованный биссектрисами углов при основании (угол BOC), равен внешнему углу при вершине, противоположной основанию (вершине B). Мы доказали это, выразив оба угла через половину угла при основании и показав, что они равны.