19. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a = 6 \) и \( b = 8 \). Найдём длину гипотенузы \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]\[ c^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ c^2 = 36 + 64 \]\[ c^2 = 100 \]\[ c = \sqrt{100} = 10 \]

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab \)
2. Через гипотенузу и высоту, проведённую к ней: \( S = \frac{1}{2}ch \), где \( h \) — высота.

Приравняем эти два выражения для площади:

\[ \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \]\[ ab = ch \]

Теперь найдём высоту \( h \):

\[ h = \frac{ab}{c} \]\[ h = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \]

Ответ: 4.8.