№19. Найдите четырёхзначное число, меньшее 6000, которое делится на 45 и сумма цифр которого равна 27. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число должно делиться на 45, значит, оно должно делиться на 5 и на 9.

Признак делимости на 5: последняя цифра числа должна быть 0 или 5.

Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9. По условию, сумма цифр равна 27, а 27 делится на 9, значит, это условие выполняется.

Число четырёхзначное и меньше 6000. Значит, первая цифра может быть 1, 2, 3, 4, 5.

Рассмотрим два случая для последней цифры:

Случай 1: Последняя цифра — 0.

Пусть число имеет вид \( abcd \), где \( d = 0 \). Сумма цифр \( a + b + c + 0 = 27 \). Первая цифра \( a \in \{1, 2, 3, 4, 5 \}\).

Если \( a = 5 \), то \( b + c = 22 \). Максимальная сумма двух цифр — \( 9 + 9 = 18 \), значит, этот случай невозможен.

Если \( a = 4 \), то \( b + c = 23 \). Невозможно.

Если \( a = 3 \), то \( b + c = 24 \). Невозможно.

Если \( a = 2 \), то \( b + c = 25 \). Невозможно.

Если \( a = 1 \), то \( b + c = 26 \). Невозможно.

Случай 2: Последняя цифра — 5.

Пусть число имеет вид \( abcd \), где \( d = 5 \). Сумма цифр \( a + b + c + 5 = 27 \), значит, \( a + b + c = 22 \). Первая цифра \( a \in \{1, 2, 3, 4, 5 \}\).

Если \( a = 5 \), то \( b + c = 17 \). Возможны варианты: \( b=8, c=9 \) или \( b=9, c=8 \). Числа: 5895, 5985. Оба меньше 6000. Проверим делимость на 45: 5895/45 = 131. 5985/45 = 133.

Можно выбрать любое из этих чисел.

Ответ: 5895