19 Сколько всех таких двузначных чисел, что если переставить местами их цифры, то они увеличиваются не менее, чем в три раза?

Для решения этой задачи нужно перебрать двузначные числа и проверить условие. Пусть двузначное число состоит из цифр $$a$$ и $$b$$, где $$a$$ - цифра десятков, а $$b$$ - цифра единиц. Само число можно записать как $$10a + b$$. Число, полученное перестановкой цифр, будет $$10b + a$$. Условие задачи: $$10b + a \ge 3(10a + b)$$.

Рассмотрим возможные варианты:

1. Числа от 10 до 19: $$a=1$$. $$10b + 1 \ge 3(10 + b) \implies 10b + 1 \ge 30 + 3b \implies 7b \ge 29 \implies b \ge \frac{29}{7} \approx 4.14$$. Значит, $$b$$ может быть 5, 6, 7, 8, 9. Получаем числа: 15, 16, 17, 18, 19.
2. Числа от 20 до 29: $$a=2$$. $$10b + 2 \ge 3(20 + b) \implies 10b + 2 \ge 60 + 3b \implies 7b \ge 58 \implies b \ge \frac{58}{7} \approx 8.28$$. Значит, $$b$$ может быть 9. Получаем число: 29.
3. Числа от 30 до 39: $$a=3$$. $$10b + 3 \ge 3(30 + b) \implies 10b + 3 \ge 90 + 3b \implies 7b \ge 87 \implies b \ge \frac{87}{7} \approx 12.4$$. Нет подходящих $$b$$.

Далее, при увеличении $$a$$, минимальное значение $$b$$ для выполнения условия будет становиться еще больше, поэтому нет смысла дальше перебирать. Проверим полученные числа:

• 15: $$51 \ge 3 \times 15 = 45$$. Верно.
• 16: $$61 \ge 3 \times 16 = 48$$. Верно.
• 17: $$71 \ge 3 \times 17 = 51$$. Верно.
• 18: $$81 \ge 3 \times 18 = 54$$. Верно.
• 19: $$91 \ge 3 \times 19 = 57$$. Верно.
• 29: $$92 \ge 3 \times 29 = 87$$. Верно.

Всего таких чисел 6.

Ответ: 6