19 Тип 17 № 12320 Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записан- ное теми же цифрами в обратном порядке. Полу- ченная разность оказалась меньше 400. Какое число было задумано? Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге. На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Дано:

• Трёхзначное число.
• Число делится на 13.
• Последняя цифра в 4 раза меньше первой.
• Разность между числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, меньше 400.

Найти: Задуманное число.

Решение:

Пусть задуманное трёхзначное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — цифры.

Из условия задачи:

1. $$a, b, c$$ — цифры, $$a
   eq 0$$.
2. $$c = rac{1}{4} a$$. Так как $$a$$ и $$c$$ — цифры, и $$a
   eq 0$$, возможны только следующие пары $$(a, c)$$: $$(4, 1)$$, $$(8, 2)$$.
3. Число $$\overline{abc}$$ делится на 13.
4. $$\overline{abc} - \overline{cba} < 400$$.

Рассмотрим возможные пары $$(a, c)$$:

Случай 1: $$a=4, c=1$$.

Число имеет вид $$\overline{4b1}$$.

Проверим делимость на 13. Начнем с возможных значений $$b$$ от 0 до 9:

• Если $$b=0$$: число 401. $$401 / 13 \approx 30.8$$. Не делится.
• Если $$b=1$$: число 411. $$411 / 13 \approx 31.6$$. Не делится.
• Если $$b=2$$: число 421. $$421 / 13 = 32.38$$. Не делится.
• Если $$b=3$$: число 431. $$431 / 13 = 33.15$$. Не делится.
• Если $$b=4$$: число 441. $$441 / 13 = 33.92$$. Не делится.
• Если $$b=5$$: число 451. $$451 / 13 = 34.69$$. Не делится.
• Если $$b=6$$: число 461. $$461 / 13 = 35.46$$. Не делится.
• Если $$b=7$$: число 471. $$471 / 13 = 36.23$$. Не делится.
• Если $$b=8$$: число 481. $$481 / 13 = 37$$. Делится!

Проверим условие разности для числа 481:

$$\overline{abc} = 481$$.

$$\overline{cba} = 184$$.

$$481 - 184 = 297$$.

$$297 < 400$$. Условие выполняется.

Итак, число 481 подходит.

Случай 2: $$a=8, c=2$$.

Число имеет вид $$\overline{8b2}$$.

Проверим делимость на 13:

• Если $$b=0$$: число 802. $$802 / 13 = 61.69$$. Не делится.
• Если $$b=1$$: число 812. $$812 / 13 = 62.46$$. Не делится.
• Если $$b=2$$: число 822. $$822 / 13 = 63.23$$. Не делится.
• Если $$b=3$$: число 832. $$832 / 13 = 64$$. Делится!

Проверим условие разности для числа 832:

$$\overline{abc} = 832$$.

$$\overline{cba} = 238$$.

$$832 - 238 = 594$$.

$$594
ot< 400$$. Условие не выполняется.

Попробуем дальше, хотя уже видим, что разность растет.

• Если $$b=4$$: число 842. $$842 / 13 = 64.76$$. Не делится.
• Если $$b=5$$: число 852. $$852 / 13 = 65.53$$. Не делится.
• Если $$b=6$$: число 862. $$862 / 13 = 66.3$$. Не делится.
• Если $$b=7$$: число 872. $$872 / 13 = 67.07$$. Не делится.
• Если $$b=8$$: число 882. $$882 / 13 = 67.84$$. Не делится.
• Если $$b=9$$: число 892. $$892 / 13 = 68.61$$. Не делится.

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — это 481.

Ответ: 481