19. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников ABC и BCD пересекаются соответственно в точках M₁ и M₂. Докажите, что AD ∥ M₁M₂.

Обозначим через E середину BC. Тогда AE и DE — медианы треугольников ABC и BCD соответственно, поэтому M₁ лежит на AE, а M₂ — на DE.

1. Центр тяжести делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, AM₁:M₁E = DM₂:M₂E = 2:1.
2. Отсюда EM₁ = EA/3 и EM₂ = ED/3. При этом направления векторов от E к M₁ и от E к M₂ противоположны направлениям от E к A и от E к D.
3. Следовательно, вектор M₁M₂ = (вектор ED − вектор EA)/3 = вектор AD/3. Он параллелен AD.

Ответ: AD ∥ M₁M₂.