19. В некотором стаде сороконожек и трёхголовых драконов всего 20 голов и 110 ног. Сколько ног у дракона?

У сороконожки 1 голова и 40 ног, у дракона — 3 головы. Если бы все 20 голов принадлежали сороконожкам, это соответствовало бы 20 сороконожкам и 800 ногам. Замена одной сороконожки тремя головами драконов уменьшает число сороконожек на 3 и добавляет одного дракона.

Проверим количество голов. Пусть драконов \(d\), тогда сороконожек \(20-3d\). По числу ног:

\(40(20-3d)+Ld=110\), где \(L\) — число ног у дракона.

С учётом неотрицательного числа сороконожек возможны целые \(d=0,1,\ldots,6\). При \(d\leq 5\) одни только сороконожки имеют не менее \(40(20-15)=200\) ног, что уже больше 110. Значит, \(d=6\), а сороконожек \(20-3\cdot6=2\).

На двух сороконожек приходится \(2\cdot40=80\) ног. Оставшиеся \(110-80=30\) ног принадлежат шести драконам, поэтому у каждого \(30:6=5\) ног.

Ответ: у дракона 5 ног.