19. В параллелограмме MORT A ∈ MO, B ∈ OP, C ∈ PT, H ∈ TM и MA = MH = PB = PC. Докажите, что четырёхугольник ABCH — параллелограмм.

1) По условию четырёхугольник MORT — параллелограмм, следовательно, \(\angle M = \angle P\) и \(\angle O = \angle T\) по свойству противоположных углов параллелограмма.

2) \(\triangle AMH = \triangle BPC\) по двум сторонам и углу между ними: \(AM = PB\), \(MH = PC\), а \(\angle AMH = \angle BPC\). Следовательно, \(AH = BC\).

3) Так как в параллелограмме MORT \(OP = MT\) и \(OM = PT\), то

\(OB = OP - PB = MT - MH = TH\),

а также

\(OA = MO - MA = PT - PC = CT\).

4) \(\triangle AOB = \triangle CTH\) по двум сторонам и углу между ними: \(OA = CT\), \(OB = TH\), \(\angle AOB = \angle CTH\). Значит, \(AB = CH\).

5) Итак, \(AH = BC\) и \(AB = CH\). Следовательно, четырёхугольник ABCH — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно равны.

Ответ: ABCH — параллелограмм.