2.1.118. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Числа-близнецы — простые числа, разность которых равна 2. Среди первых 500 натуральных чисел получаются пары: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61; 71 и 73; 101 и 103; 107 и 109; 137 и 139; 149 и 151; 179 и 181; 191 и 193; 197 и 199; 227 и 229; 239 и 241; 269 и 271; 281 и 283; 311 и 313; 347 и 349; 419 и 421; 431 и 433; 461 и 463.

Всего таких пар — 24.

б) Подставим значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

1. При n = 87: 521 и 523. Оба числа простые, это пара близнецов.
2. При n = 135: 809 и 811. Оба числа простые, это пара близнецов.
3. При n = 165: 989 и 991. Число 989 составное: 989 = 23 · 43, поэтому эта пара не является парой близнецов.

в) Для двузначных чисел k принимает значения от 2 до 16. Проверяем пары 6k − 1 и 6k + 1; не являются парами близнецов те, в которых хотя бы одно число составное: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (55, 57), (65, 67), (77, 79), (85, 87), (91, 93), (95, 97).