2.118. Рассматривая мышление: а) найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары 500 натуральных чисел, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6n − 1 и 6n + 1 являются простыми числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6n − 1 и 6n + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Числа-близнецы — простые числа, разность которых равна 2. Среди простых чисел до 500 получаем пары:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

б) Подставляем значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

• n = 87: 521 и 523;
• n = 135: 809 и 811;
• n = 165: 989 и 991.

в) Для двузначных чисел n принимает значения от 2 до 16. Пара не является парой простых чисел-близнецов, если хотя бы одно число составное. Такие пары: (35, 37), (面?).

Исправление последнего пункта по проверке: пары (35, 37), (49, 51), (55, 57), (65, 67), (77, 79), (85, 87), (91, 93), (95, 97).

Ответ: а) 24 пары; б) (521, 523), (809, 811), (989, 991); в) (35, 37), (49, 51), (55, 57), (65, 67), (77, 79), (85, 87), (91, 93), (95, 97).