2.118. Рассуждай мышлением. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Парами простых чисел-близнецов среди чисел до 500 являются:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (491, 493 — не пара, так как 493 составное).

Последняя подходящая пара до 500 — (461, 463). Всего таких пар 24.

б) Подставим значения \(n\) в выражения \(6n-1\) и \(6n+1\):

• при \(n=87\): 521 и 523 — пара простых чисел-близнецов;
• при \(n=135\): 809 и 811 — пара простых чисел-близнецов;
• при \(n=165\): 989 и 991. Число 989 составное: \(989=23\cdot43\), поэтому эта пара не является парой простых чисел-близнецов.

в) Для двузначных чисел возможны \(k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16\). Пара не является парой чисел-близнецов, если хотя бы одно из чисел составное. Такие пары: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (95, 97).

Ответ: а) 24 пары; б) (521, 523), (809, 811), (989, 991); в) (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (95, 97).