2.118. Развиваем мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6k − 1 и 6k + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для k, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Числа-близнецы — это простые числа, разность которых равна 2. Пары среди чисел до 500:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463). Всего 24 пары.

б) Подставляем значения \(k\) в выражения \(6k-1\) и \(6k+1\):

• при \(k=87\): \(521\) и \(523\);
• при \(k=135\): \(809\) и \(811\);
• при \(k=165\): \(989\) и \(991\).

в) Для двузначных чисел \(k\) принимает значения от 2 до 16. Проверка простоты чисел в соответствующих парах даёт пары, не являющиеся числами-близнецами: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97). В каждой из них хотя бы одно число составное.