2.122. Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары простых чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите такие пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. Проверьте, какие из них взаимно простые.

а) Пары простых чисел-близнецов отличаются на 2. Среди чисел от 1 до 500 это пары: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), (29; 31), (41; 43), (59; 61), (71; 73), (101; 103), (107; 109), (137; 139), (149; 151), (179; 181), (191; 193), (197; 199), (227; 229), (239; 241), (269; 271), (281; 283), (311; 313), (347; 349), (419; 421), (431; 433), (461; 463).

Всего получилось 24 пары.

б) Подставим каждое значение n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

1. При n = 87: 6 · 87 − 1 = 521, 6 · 87 + 1 = 523. Пара: (521; 523).
2. При n = 135: 6 · 135 − 1 = 809, 6 · 135 + 1 = 811. Пара: (809; 811).
3. При n = 165: 6 · 165 − 1 = 989, 6 · 165 + 1 = 991. Пара: (989; 991).

В каждой паре числа отличаются на 2 и оба нечётные. Их общий делитель должен делить разность 2, поэтому единственный общий делитель — 1. Следовательно, все три пары взаимно простые. При этом 989 = 23 · 43, поэтому третья пара не является парой простых чисел-близнецов.

Ответ: 24 пары; все три найденные пары взаимно простые.