2. 2cos^2 x + 5sin x + 5 = 0

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

Подставим это в уравнение:

\( 2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x + 5 = 0 \)

Раскроем скобки:

\( 2 - 2\sin^2 x + 5\sin x + 5 = 0 \)

Приведём подобные члены:

\( -2\sin^2 x + 5\sin x + 7 = 0 \)

Умножим на \(-1\) для удобства:

\( 2\sin^2 x - 5\sin x - 7 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( z = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 2z^2 - 5z - 7 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \)

\( z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)

Теперь вернёмся к замене \( z = \sin x \).

• Случай 1: \( \sin x = \frac{7}{2} \). Это уравнение не имеет решений, так как \( \sin x \) всегда находится в диапазоне \( [-1, 1] \), а \( \frac{7}{2} > 1 \).
• Случай 2: \( \sin x = -1 \).

Решения этого уравнения:

\( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).