2.4. Даны вершины треугольника A(1,2), B(4,6), C(-2, 3). Найдите угол при вершине А (в градусах).

Решение:

Для нахождения угла при вершине А, нам нужно найти векторы AB и AC.

1. Найдем координаты вектора AB:
   \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4) \)
2. Найдем координаты вектора AC:
   \( \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (-2 - 1; 3 - 2) = (-3; 1) \)
3. Найдем скалярное произведение векторов AB и AC:
   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3 \cdot (-3)) + (4 \cdot 1) = -9 + 4 = -5 \]
4. Найдем длины векторов AB и AC:
   \[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
   \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]
5. Найдем косинус угла между векторами AB и AC по формуле:
   \[ \cos(\angle A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \]
   \[ \cos(\angle A) = \frac{-5}{5 \cdot \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} \]
6. Найдем угол А:
   \[ \angle A = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx 108.43^{\circ} \]

Ответ: приблизительно 108.43°