2.4. Даны вершины треугольника А(1, 2), В(4,6), C(-2, 3). Найдите угол при вершине А (в градусах).

Решение:

Чтобы найти угол при вершине А, нам нужно найти векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).

Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из координат конечной точки.

\( \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4) \)

\( \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-2 - 1, 3 - 2) = (-3, 1) \)

Формула для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\( \cos(\angle A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \)

Сначала найдём скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

\( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3)(-3) + (4)(1) = -9 + 4 = -5 \)

Теперь найдём длины векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

\( |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

\( |\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

\( \cos(\angle A) = \frac{-5}{5 \cdot \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} \)

Чтобы найти угол \( \angle A \) в градусах, используем арккосинус:

\( \angle A = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{10}}\right) \)

Приблизительное значение угла:

\( \angle A \approx 108.435^\circ \)

Ответ: \( \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{10}}\right) \) ≈ 108.435°