2.42. Автомобиль, остановившись пред светофором, набирает затем скорость 54 км/ч на пути 50 м. С каким ускорением он должен двигаться? Сколько времени будет длиться разгон?

Решение:

Дано:

• Начальная скорость \( v_0 = 0 \) км/ч (автомобиль остановился).
• Конечная скорость \( v = 54 \) км/ч.
• Расстояние \( S = 50 \) м.

Найти:

• Ускорение \( a \).
• Время разгона \( t \).

Перевод единиц:

Переведем скорость из км/ч в м/с:

\[ 54 \text{ км/ч} = 54 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 54 \times \frac{5}{18} \text{ м/с} = 3 \times 5 = 15 \text{ м/с} \]

1. Находим ускорение:

Используем формулу кинематики, связывающую начальную скорость, конечную скорость, ускорение и расстояние:

\[ v^2 = v_0^2 + 2aS \]

Так как \( v_0 = 0 \), формула упрощается:

\[ v^2 = 2aS \]

Выразим ускорение \( a \):

\[ a = \frac{v^2}{2S} \]

Подставляем значения:

\[ a = \frac{(15 \text{ м/с})^2}{2 \times 50 \text{ м}} = \frac{225 \text{ м}^2/\text{с}^2}{100 \text{ м}} = 2.25 \text{ м/с}^2 \]

2. Находим время разгона:

Используем формулу, связывающую конечную скорость, начальную скорость, ускорение и время:

\[ v = v_0 + at \]

Так как \( v_0 = 0 \):

\[ v = at \]

Выразим время \( t \):

\[ t = \frac{v}{a} \]

Подставляем значения:

\[ t = \frac{15 \text{ м/с}}{2.25 \text{ м/с}^2} = \frac{15}{2.25} = \frac{1500}{225} = \frac{300}{45} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3} \text{ с} \approx 6.67 \text{ с} \]

Ответ: Ускорение автомобиля \( a = 2.25 \text{ м/с}^2 \). Время разгона \( t = \frac{20}{3} \text{ с} \) (приблизительно 6.67 с).