2. ABCD — квадрат, MA ⊥ ABC, MA = 5, AB = 12. Найдите d (M, DC).

Решение:

Так как ABCD — квадрат, то DC параллельна AB. Расстояние от точки M до прямой DC равно расстоянию от точки M до плоскости квадрата, если бы M проецировалась на DC. Однако, MA перпендикулярно плоскости ABC, следовательно, MA перпендикулярно всем прямым, лежащим в плоскости ABC. DC лежит в плоскости ABC.

Расстояние от точки M до прямой DC равно расстоянию от точки M до плоскости квадрата, если бы M проецировалась на DC. Поскольку MA ⊥ ABC, то MA перпендикулярно DC. Таким образом, расстояние от M до DC равно MA.

Альтернативно, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный M, A и проекцией M на DC. Так как MA ⊥ ABC, то MA перпендикулярно DC. Проекция M на DC будет точкой A, если рассматривать проекцию на прямую DC. Но это не совсем верно.

Правильное рассуждение:

• ABCD — квадрат, значит, DC || AB.
• MA ⊥ ABC, где ABC — плоскость квадрата.
• Значит, MA перпендикулярна любой прямой в плоскости ABC, в том числе и прямой DC.
• Расстояние от точки M до прямой DC — это длина перпендикуляра, опущенного из M на DC.
• Так как MA уже перпендикулярно DC (так как MA перпендикулярно плоскости, содержащей DC), то длина этого перпендикуляра равна длине отрезка MA.

MA = 5.