3. d(M, AB) = d(M, BC) = d(M, AC) = 4, AB = BC = AC, d(M, ABC) = √13. M ∉ ABC. Найдите MA.

Решение:

Так как d(M, AB) = d(M, BC) = d(M, AC) = 4, точка M равноудалена от сторон треугольника ABC. Следовательно, проекция точки M на плоскость ABC (обозначим ее O) является центром вписанной окружности треугольника ABC.

Треугольник ABC равносторонний (AB = BC = AC). Пусть сторона треугольника равна $$a$$. Радиус вписанной окружности $$r$$ связан со стороной $$a$$ формулой: $$r = rac{a}{2 an(rac{180^ ext{o}}{3})} = rac{a}{2 an(60^ ext{o})} = rac{a}{2 ext{√3}}$$.

Нам дано, что расстояние от M до сторон AB, BC, AC равно 4. Это расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет — расстояние от проекции O до стороны (т.е. радиус вписанной окружности $$r$$), а другой катет — высота MO.

Итак, $$4^2 = r^2 + ( ext{MO})^2$$.

Нам дано, что $$d( ext{M}, ext{ABC}) = ext{MO} = ext{√13}$$.

Подставляем известные значения:

• $$4^2 = r^2 + ( ext{√13})^2$$
• $$16 = r^2 + 13$$
• $$r^2 = 16 - 13 = 3$$
• $$r = ext{√3}$$

Теперь найдем длину стороны $$a$$ равностороннего треугольника:

• $$r = rac{a}{2 ext{√3}}$$
• $$ ext{√3} = rac{a}{2 ext{√3}}$$
• $$a = ext{√3} imes 2 ext{√3} = 2 imes 3 = 6$$.

Сторона равностороннего треугольника равна 6.

Теперь нужно найти MA. MA — это гипотенуза прямоугольного треугольника MAB (или MAC, MBC), где MA — катет, а AB — сторона квадрата (или треугольника).

Но MA — это искомая высота. Нам нужно найти MA. MA — это наклонная. Проекция MA на плоскость ABC — это AO. Мы нашли AO = r = √3. MO = √13.

MA — это гипотенуза прямоугольного треугольника MOA (или MOB, MOC).

MA$$^2$$ = MO$$^2$$ + AO$$^2$$

• MA$$^2$$ = (√13)$$^2$$ + (√3)$$^2$$
• MA$$^2$$ = 13 + 3
• MA$$^2$$ = 16
• MA = 4