2. ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей, M — середина BC. AB = a⃗, AD = b⃗. Выразите через векторы a⃗ и b⃗ следующие векторы: а) AC; б) AO; в) BM; г) AM.

Возьмём точку A за начало отсчёта. В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены: \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\). Диагонали делятся точкой пересечения пополам.

1. \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b\).
2. Так как O — середина диагонали AC, \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec a+\vec b)\).
3. M — середина BC, поэтому \(\overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\vec b\).
4. \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: а) \(\vec a+\vec b\); б) \(\frac12(\vec a+\vec b)\); в) \(\frac12\vec b\); г) \(\vec a+\frac12\vec b\).