2.ABCDABCD₁ – правильная призма. АВ = 6см, АА₁= 8см. Найти угол между прямыми АА₁ и ВС; площадь полной поверхности призмы.

Дано:

• Правильная призма ABCDABCD₁.
• \[ AB = 6\text{ см} \]
• \[ AA_1 = 8\text{ см} \]

Найти:

• Угол между прямыми AA₁ и BC.
• Площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Угол между прямыми AA₁ и BC:

   В правильной призме боковые ребра (AA₁, BB₁, CC₁, DD₁) параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям.

   Прямая AA₁ параллельна прямой BC, потому что они обе лежат в плоскости боковой грани (например, ABB₁A₁). Более того, поскольку ABCD - квадрат (или прямоугольник, так как призма правильная, и основание - правильный многоугольник), то сторона AA₁ перпендикулярна стороне AB, а сторона BB₁ перпендикулярна стороне AB. Если рассмотреть плоскость грани ABB₁A₁, то прямая AA₁ параллельна BB₁.

   В основании призмы ABCD, BC является стороной квадрата (или прямоугольника). Прямая AA₁ перпендикулярна плоскости основания, значит, она перпендикулярна любой прямой в основании, в том числе и BC.

   Однако, вопрос сформулирован как "угол между прямыми AA₁ и BC". Прямые AA₁ и BC являются скрещивающимися (если рассматривать их в пространстве, они не лежат в одной плоскости и не параллельны). Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно провести одну из них параллельно через точку на другой прямой. Если мы проведем прямую через точку B, параллельную AA₁, эта прямая будет BB₁.

   Так как AA₁ перпендикулярна основанию, и BC лежит в основании, то угол между AA₁ и BC равен 90 градусов.

2. Площадь полной поверхности призмы:

   Площадь полной поверхности призмы (S_полн) складывается из площади боковой поверхности (S_бок) и площади двух оснований (S_осн):

   \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \]

   Площадь боковой поверхности (S_бок):

   S_бок = Периметр основания · Высота призмы

   Так как призма правильная, основание ABCD - квадрат со стороной AB = 6 см.

   Периметр основания = \( 4 \cdot AB = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см} \)

   Высота призмы = \( AA_1 = 8 \text{ см} \)

   \[ S_{бок} = 24 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 192 \text{ см}^2 \]

   Площадь одного основания (S_осн):

   Основание - квадрат со стороной 6 см.

   \[ S_{осн} = AB^2 = (6 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2 \]

   Площадь полной поверхности (S_полн):

   \[ S_{полн} = 192 \text{ см}^2 + 2 \cdot 36 \text{ см}^2 = 192 \text{ см}^2 + 72 \text{ см}^2 = 264 \text{ см}^2 \]

Ответ:

• Угол между прямыми AA₁ и BC равен 90°.
• Площадь полной поверхности призмы равна 264 см².