3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна \( 2\sqrt{3} \) см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Обозначим правильную треугольную пирамиду как PABC, где ABC — основание, а P — вершина. Пусть H — центр основания (точка пересечения медиан/высот/биссектрис равностороннего треугольника ABC).

Дано: сторона основания \( a = 2\sqrt{3} \) см, высота пирамиды \( PH = 2 \) см.

Найти: угол наклона бокового ребра (например, PA) к плоскости основания.

1. Найдём центр основания (H):

В равностороннем треугольнике высота \( h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 \) см.

Центр основания H делит медиану (и высоту) в отношении 2:1. Расстояние от вершины основания до центра: \( AH = \frac{2}{3} h_{осн} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \) см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник PAH:

PH — высота пирамиды (катет), AH — расстояние от центра основания до вершины основания (катет), PA — боковое ребро (гипотенуза).

Угол наклона бокового ребра PA к плоскости основания — это угол между ребром PA и его проекцией на основание, то есть угол \( \angle PAH \).

В треугольнике PAH:

\( PH = 2 \) см (высота пирамиды)

\( AH = 2 \) см (расстояние от центра до вершины основания)

Найдём тангенс угла \( \angle PAH \):

\( \tan(\angle PAH) = \frac{PH}{AH} = \frac{2}{2} = 1 \)

Угол, тангенс которого равен 1, равен 45°.

\( \angle PAH = 45° \).

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°.