2. б) Какая из данных точек лежит между точками B и C? На рисунке точки A, B, C лежат на одной прямой в указанном порядке; из точки B проведены лучи BM и BN. На рисунке BM — биссектриса угла MBC. а) Найдите угол NBC, если градусные меры углов ABM и NBC относятся как 8:5. б) Постройте луч BK — продолжение луча BM, и назовите все образованные пары вертикальных углов. в) Найдите угол между биссектрисами углов ABK и MBN.

б) На рисунке ни одна из отмеченных точек не лежит между B и C: A находится по другую сторону от B, а M и N лежат на лучах вне прямой ABC.

а) В условии указано, что BM — биссектриса угла MBC, но BM является стороной этого угла и не может быть его биссектрисой. Вероятно, имеется в виду BN — биссектриса угла MBC. При таком прочтении обозначим ∠ABM = 8x, ∠NBC = 5x. Тогда ∠MBN = ∠NBC = 5x, а сумма этих трёх углов составляет развёрнутый угол ABC:

8x + 5x + 5x = 180°; 18x = 180°; x = 10°.

Следовательно, ∠NBC = 5x = 50°.

б) Луч BK противоположен лучу BM. Лучи BA и BC также противоположны, поэтому образуются две пары вертикальных углов: ∠ABM и ∠CBK; ∠MBC и ∠KBA.

в) При том же предполагаемом исправлении BN — биссектриса угла MBC: ∠ABM = 80°, ∠MBC = 100°, ∠MBN = 50°. Угол ABK равен 100°. Его биссектриса делит его пополам, как и биссектриса угла MBN; направления этих биссектрис дают угол 155°.

Ответ при условии, что BN — биссектриса угла MBC: а) 50°; в) 155°. Если обозначение BM в условии верно, пункты а) и в) требуют уточнения, поскольку такое условие геометрически невозможно.