2) BD - биссектриса прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С. Доказать, что точка D равноудалена от прямых ВС и АВ. (из точки D проведите перпендикуляр к АВ).

Доказательство:

По условию BD — биссектриса угла ABC. Это значит, что она делит угол ABC пополам:

\[ \angle ABD = \angle DBC \]

По условию треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом C, то есть old{C = 90°}.

Проведем из точки D перпендикуляры к сторонам ВС и АВ. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров как E на ВС и F на АВ.

Рассмотрим треугольники BDF и BDE:

• BD — общая гипотенуза (общая сторона).
• old{\angle FBD = \angle EBD} (так как BD — биссектриса).
• old{\angle BFD = \angle BED = 90°} (по построению, так как DE и DF — перпендикуляры).

Следовательно, треугольники BDF и BDE равны по гипотенузе и острому углу (второй признак равенства прямоугольных треугольников).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны:

\[ DF = DE \]

Таким образом, точка D равноудалена от прямых ВС (точка E на ВС, DE — расстояние) и АВ (точка F на АВ, DF — расстояние).

Что и требовалось доказать.