2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 10 см, а высота 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Найдите объём пирамиды.

Решение:

1. Находим апофему:
   В правильной треугольной пирамиде апофема \( l \) связана с боковым ребром \( b \) и высотой \( H \) соотношением: \( b^2 = H^2 + l^2 \).
   \( 10^2 = 8^2 + l^2 \)
   \( 100 = 64 + l^2 \)
   \( l^2 = 100 - 64 = 36 \)
   \( l = \sqrt{36} = 6 \) см.
2. Находим площадь боковой поверхности:
   Основание — правильный треугольник со стороной \( a \).
   Апофема \( l \) и высота основания \( h_{осн} \) связаны соотношением: \( l = \frac{2}{3} h_{осн} \).
   \( 6 = \frac{2}{3} h_{осн} \)
   \( h_{осн} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \) см.
   Сторона основания \( a \) связана с высотой \( h_{осн} \) как \( h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \).
   \( 9 = \frac{\sqrt{3}}{2} a \)
   \( a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \) см.
   Периметр основания \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \) см.
   Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 6 = 54\sqrt{3} \) см².
3. Находим площадь основания:
   \( S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 9 = 27\sqrt{3} \) см².
4. Находим объём пирамиды:
   \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 27\sqrt{3} \cdot 8 = 9\sqrt{3} \cdot 8 = 72\sqrt{3} \) см³.

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 54\(\sqrt{3}\) см². Объём пирамиды равен 72\(\sqrt{3}\) см³.