2. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Решение:

Задача на нахождение угла между касательной и хордой, исходящими из одной точки окружности. Известно, что длина хорды равна радиусу окружности.

1. Обозначения:

• Пусть $$O$$ - центр окружности, $$r$$ - её радиус.
• Пусть $$A$$ - точка на окружности.
• $$AT$$ - касательная к окружности в точке $$A$$.
• $$AB$$ - хорда, такая что $$AB = r$$.

2. Построение и свойства:

1. Проведем радиус $$OA$$.
2. Проведем радиус $$OB$$.
3. Треугольник $$OAB$$ образован двумя радиусами ($$OA = OB = r$$) и хордой $$AB$$.
4. Так как $$OA = OB = AB = r$$, то треугольник $$OAB$$ является равносторонним.
5. Углы равностороннего треугольника равны 60°. Следовательно, $$ riangle OAB$$ имеет углы по 60°.
6. $$ riangle OAB$$ - равносторонний, поэтому $$ riangle OAB$$ - равнобедренный с $$OA=OB$$.
7. Угол $$ riangle OAB$$ равен 60°.
8. Касательная $$AT$$ перпендикулярна радиусу $$OA$$, проведенному в точку касания $$A$$.
9. Следовательно, $$ riangle OAT$$ - прямой угол, $$ riangle OAT = 90^{ ext{o}}$$.
10. Угол между касательной $$AT$$ и радиусом $$OA$$ равен 90°.

3. Нахождение искомого угла:

1. Искомый угол - это угол между касательной $$AT$$ и хордой $$AB$$. Этот угол равен $$ riangle TAB$$.
2. Угол $$ riangle TAB$$ можно найти, вычитая известный угол из прямого угла:
3. $$ riangle TAB = riangle OAT - riangle OAB$$
4. $$ riangle TAB = 90^{ ext{o}} - 60^{ ext{o}} = 30^{ ext{o}}$$.

Ответ: Угол между касательной и хордой равен 30°.