3. Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе и проведенной к ней высоте.

Алгоритм построения:

Задача состоит в построении прямоугольного треугольника по двум заданным элементам: гипотенузе и высоте, проведенной к этой гипотенузе.

1. Дано:

• Отрезок $$AB$$, который будет гипотенузой прямоугольного треугольника.
• Точка $$H$$ на отрезке $$AB$$, такая что $$CH ot AB$$. Отрезок $$CH$$ - высота, проведенная к гипотенузе.

2. Построение:

1. Построение окружности с диаметром AB:
• Найдём середину отрезка $$AB$$. Обозначим её $$O$$.
• Проведем окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$ (или $$OB$$). Эта окружность будет проходить через точки $$A$$ и $$B$$.
• Любая точка $$C$$ на этой окружности, отличная от $$A$$ и $$B$$, будет образовывать с $$A$$ и $$B$$ прямоугольный треугольник $$ riangle ABC$$, где $$ riangle ACB = 90^{ ext{o}}$$ (угол, опирающийся на диаметр).
2. Построение точки C с использованием высоты:
• Нам задана высота $$CH$$. Точка $$C$$ должна находиться на таком расстоянии от прямой $$AB$$, чтобы это расстояние было равно длине заданной высоты $$h = CH$$.
• Проведем прямую $$m$$, параллельную $$AB$$, на расстоянии $$h$$ от $$AB$$.
• Точка $$C$$ будет пересечением окружности, построенной на $$AB$$ как на диаметре, и прямой $$m$$.
3. Поиск точек пересечения:
• Проведем окружность с центром в середине $$AB$$ и радиусом $$AB/2$$.
• Проведем прямые, параллельные $$AB$$, на расстоянии $$h$$ от $$AB$$ (с обеих сторон от $$AB$$).
• Точки пересечения окружности и параллельных прямых будут являться вершинами $$C$$.
4. Выбор точки C:
• Если параллельная прямая пересекает окружность в двух точках, то мы получим два прямоугольных треугольника (симметричных относительно гипотенузы).
• Если параллельная прямая касается окружности, то получится один прямоугольный треугольник (равнобедренный).
• Если параллельная прямая не пересекает окружность, то построение невозможно (заданная высота больше максимальной возможной высоты для данной гипотенузы, которая равна половине гипотенузы).

3. Полученный треугольник:

• После нахождения точки $$C$$, мы можем соединить $$A$$ с $$C$$ и $$B$$ с $$C$$.
• Полученный $$ riangle ABC$$ будет прямоугольным (угол $$ riangle ACB = 90^{ ext{o}}$$) с гипотенузой $$AB$$ и высотой $$CH$$, равной заданной.