№ 2. Дан график функции y = −x² + 6x − 3. С помощью графика определите: вид функции и графика, направление; координаты вершины функции и ось симметрии; нули функции; промежутки знакопостоянства; промежутки возрастания и убывания функции; область определения и область значения функции. Найдите значение f(1) и f(−0,5).

Функция задана формулой \(f(x)=-x^2+6x-3\). Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Выделим полный квадрат: \(f(x)=-(x^2-6x)-3=-(x-3)^2+6\). Поэтому вершина параболы — \((3;6)\), а ось симметрии — прямая \(x=3\).

Нули найдём из уравнения \(-x^2+6x-3=0\), или \(x^2-6x+3=0\). По формуле корней: \(x=\frac{6\pm\sqrt{36-12}}{2}=3\pm\sqrt6\). Следовательно, нули: \(3-\sqrt6\) и \(3+\sqrt6\).

Поскольку парабола направлена вниз и пересекает ось x в найденных точках, функция положительна между нулями и отрицательна за их пределами.

• Положительна при \(3-\sqrt6<x<3+\sqrt6\).
• Отрицательна при \(x<3-\sqrt6\) или \(x>3+\sqrt6\).
• Возрастает на \((-;3]\) и убывает на \([3;+)\).
• Область определения: все действительные числа. Область значений: \((-;6]\).

Вычислим значения функции подстановкой:

\(f(1)=-1^2+6\cdot1-3=2\).

\(f(-0.5)=-(-0.5)^2+6\cdot(-0.5)-3=-0.25-3-3=-6.25\).

Ответ: вершина (3; 6), ось симметрии x = 3; нули 3 − √6 и 3 + √6; область определения ℝ, область значений (−∞; 6]; f(1) = 2, f(−0,5) = −6,25.